Добрый день, я поискал в гугле по запросу "police green card", оказалось, что этот вопрос нередко задают на англоязычных форумах. Судя по ответам, это зависит от законодательства конкретного штата, и даже от правил конкретного департамента. В некоторых штатах достаточно green card, а в некоторых необходимо сначала получить американское гражданство.
Что касается вопроса о гос.учреждениях, это ещё более общий вопрос, всё зависит от данного конкретного учреждения и данной конкретной должности. На определённых должностях естественно требуется наличие гражданства. Но ведь можно и гайки крутить в муниципальной библиотеке, думаю, что там паспорт никто требовать не будет
